Leyes de los exponentes y los radicales.

La propiedades de los exponentes es un tema que que muchas veces se nos olvida y nos genera duda al momento de realizar una operación por eso siempre es bueno tener estos conceptos.


1. Definición. Sea  un número real y n un entero positivo, entonces:

1.   veces.
2.  , con  ;  no está definido.
3.  , con  .

Propiedades. Si m y n son enteros y a y b son números reales, entonces:

1. 
2. 
3.  ; 
4. 
5.  

Para que las definiciones anteriores sean, razonables, no se define  . Si se tratara de definir se llegaría a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo:



o sea que como  entonces  podría ser cualquiera número real y por lo tanto no estaría determinado de forma única.


Ejemplo 1. 

 .  ;
 ; 
 ; 
 


2. Definición. La raíz cuadrada de un número  es un número  tal que  . La raiz cúbica de un número  es un número  tal que  . Se dirá en general, que  es una raiz enésima de  si  .


Ejemplo 2. 

 y  son dos raíces cuartas de  .
 no tiene raíz cuadrada real porque no existe ningún número real  que cumpla que  .


3.2.4 Definición. Si  y  se dice que  en una raíz enésima de  .

Si  es par y  es positivo, entonces  representa la raíz enésima real positiva de  ,  representa la raíz enésima real negativa de  . Hay que hacer notar que  no representa un número real.

Si  es impar y  es positivo o negativo, entonces  representa la raíz enésima real de  .

Para todo  perteneciente a los enteros positivos,  .


Ejemplo 3. ¿Cómo podría definirse un símbolo como  ?.

Solución.
Como las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales se tiene:
 o sea que la expresión anterior, representa el cuadrado de la raíz cúbica de  .

Lo anterior motiva la siguiente definición:


3. Definición. Sean  y  enteros positivos y  cualquier número real, con excepción de que  no puede ser negativo cuando  es par, entonces:

1. 
2. 

 Radicales 

Definición. Para  mayor que uno y entero y  número real, excepto que  sea negativo cuando  es par, se define:

Raíz enésima de  y se denota por  como .

• El símbolo  se llama radical.
• El símbolo  se llama índice.
• El símbolo  se llama radicando.

De lo anterior se concluye que:

1. 
2. 

Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades:

1. 
2. 
3. 
4. 

Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedad de expresiones algebraicas que contienen radicales a formar equivalentes.

Se dice que una expresión algebraica que contiene radicales está simplificada o en la forma radical más simple, si se satisfacen las siguientes condiciones:

1. El radicando no contiene ningún factor con exponente mayor o igual al índice del radical.
2. El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor común aparte del 1.
3. No aparece ninguna fracción dentro del radical.
4. No aparece ningún radical en el denominador.

Ejemplo 4. 

Exprese en la forma radical mas simple:  .

Solución. 

.

PARA RESUMIR TODO LO ANTERIOR

Propiedad	Que dice	Ejemplos
	Toda base elevada a la cero es 1, excepto el cero.	40 = 1, 100 =1

Propiedad	Que dice	Ejemplos
	Un exponente negativo es el recíproco de la potencia positiva.

Propiedad	Que dice	Ejemplos
bm bn = bn+m	En el producto con bases iguales se suman los exponentes.	22 23 = 22 + 3 = 25 = 32 (- 5)2 (- 5)( - 5)3 =(- 5) 6 = 16625

Propiedad	Que dice	Ejemplos
(bm )n = bn m	Una base con doble exponente; se multiplican los exponentes.	(33)2 = 3 3 x 2 = 36 = 729 (-33)2 = (-3)3 x 2 = (-3)6 = 729

Propiedad	Que dice	Ejemplos
(ab)n = an bn	Un producto elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente.	(7x)2 = 72x 2 = 49x2 (-4y2)3 = (-43 y2 x 3) = -64y6

Propiedad	Que dice	Ejemplos
	En el cociente con bases iguales se restan los exponentes.

  

Propiedad	Que dice	Ejemplos
	Un cociente elevado a un exponente; cada término se eleva a ese exponente.

Propiedad	Que dice	Ejemplos
	Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.

Propiedad	Que dice	Ejemplos
	Un cociente donde cada término tiene exponente negativo es el recíproco positivo de cada término.